Форум » Новости » Логика-таблица истинности для сложного высказывания. » Ответить
Логика-таблица истинности для сложного высказывания.
Пончик: http://sch980.edusite.ru/informatika/p10aa1.html вся статья ! http://inf.1september.ru/2001/3/art/syst.html-ssi Дополнительная литература http://apparatnoe.narod.ru/logika.htm Очень сильный сайт Основные понятия и операции формальной логики. Зако-ны логики. Логические переменные. Логические выраже-ния и их преобразования. Построение таблиц истинности логических выражений. Основные понятия и операции алгебры логики Формальной логикой принято называть античную логи-ку, основанную Аристотелем. Это название происходит от основного принципа логики как науки, который гласит, что правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений. Логика изучает формы мышления с точки зрения их структуры, законы и правила получения некоторого знания. Формами мышления являются: понятие, суждение, умоза-ключение. Понятие — форма мышления, отражающая существенные свойства предмета или класса однородных предметов. Харак-теризуется содержанием и объемом. Содержание понятия — те признаки предмета, которые позволяют отличить предмет от всех остальных. Объем понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат эти признаки. Суждение — форма мышления, в которой что-либо утвер-ждается или отрицается о наличии предмета, его свойствах и действиях. Характеризуется содержанием и формой. Со-держанием суждения является его смысл. Форма — способ построения. Суждения бывают истинными и ложными. Умозаключение — форма мышления, в которой из одно-го или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение (вывод, или за-ключение). В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику называют математической. Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики. Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах Джорджа Буля. Создание алгебры логики представляло со-бой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. Учение о высказываниях, называемое алгеброй выска-зываний (алгеброй логики), является первой из формаль-ных логических теорий. Объектами алгебры логики явля-ются высказывания. Алгебра логики имеет приложения при синтезе релейно-контактных и электронных схем. В этой теории отвлека-ются от содержания высказывания, а рассматривают только то его свойство, что оно представляет собой или истину, или ложь. Тогда высказывание можно рассматривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь». Высказывания обозначаются прописными латин-скими буквами А, В, С, D ..., а их значения «Истина» или «Ложь» можно записывать как TRUE и FALSE, или Т и F, или 1 и 0, или И и Л. Примеры высказываний: «Луна — спутник Земли». «Все числа — целые». Над высказываниями в алгебре логики определяются сле-дующие основные логические операции, в результате кото-рых получаются новые, составные высказывания: Логическое отрицание (инверсия) — это логическая опе-рация, применяемая к одному высказыванию. Высказыва-ние А есть высказывание, которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно. Высказывание называется отри-цанием А. Возможные обозначения отрицания: ¬A, not А, не А. Логическое умножение (конъюнкция) — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ис-тинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказы-вания истинны. Возможные обозначения конъюнкции: A И В, А & В, A AND В, А·В, А U В, АВ. Логическое сложение (дизъюнкция) — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ис-тинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний. Возможные обозначения дизъюнкции: А ИЛИ В, A U В, A OR В, А + В, А || В. Логическое следование (импликация) — это высказыва-ние ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В лож-но. Возможные обозначения импликации: А®В, А => В. Эквивалентность — это высказывание истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны. Возможные обозначения эквивалентности: А ~ В, А U В. Всякое сложное высказывание, составленное из некото-рых исходных высказываний посредством логических опе-раций, будем называть логическим выражением. Его также называют формулой алгебры логики. Исходные высказывания могут быть логическими кон-стантами (если имеют постоянное значение «истина» или «ложь») или логическими переменными. Переменные высказывания — это такие переменные, зна-чениями которых могут быть любые наперед заданные про-стые высказывания — константы. Логические операции позволяют каждой формуле при за-данных значениях входящих в нее высказываний приписать одно из двух значений: 0 или 1. Тем самым каждая формула может рассматриваться как некоторый способ задания или реализации функции алгебры логики. Логическая функ-ция — это функция, определенная на множестве значений (истина, ложь) и принимающая значение из того же множе-ства. Например: F1 = А&В, F2 = AUB. Функцию можно задавать как в виде формулы, так и в виде таблицы, которая содержит все наборы значений пере-менных и значения функции на этих наборах. Такую таб-лицу называют таблицей истинности. Таблица простейших логических функций: Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Следование Эквивалентность Логические выражения и их преобразования Будем называть две функции F1 и F2 равносильными, или тождественными, если при любых значениях всех пере-менных, входящих в F1 и F2, эти функции принимают оди-наковые значения. Равносильность обозначается знаком ра-венства (=) Например: А ® В = ¬A U В А U В = (¬А & ¬В) U ¬ (A & В) Посредством приведенных операций над высказывания-ми могут быть образованы другие, сколь угодно сложные высказывания. Так можно получать из одной функции другую, равно-сильную ей. При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету: дей-ствия в скобках инверсия; конъюнкция; дизъюнкция: импликация эквивалентность. В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих осу-ществлять равносильные преобразования формул. Законы логики и правила преобразования логических выражений В алгебре, которую мы изучаем в школе, существуют пять основных законов: переместительные, сочетательные и распределительный. Среди законов алгебры логики есть по-добные законы. C использованием законов алгебры логики выполняются преобразования сложных логических функций. Если логическая функция представлена с помощью дизъ-юнкций, конъюнкций и инверсий, то такая форма представ-ления называется нормальной. Логическая функция называется тождественно ложной, если она принимает значение «ложь» на всех наборах вхо-дящих в нее простых высказываний. Например: В&¬А&(В ® А) = В &¬А & (¬В UA) = В & ((¬А & ¬В) U (¬А & А)) = В & (¬А & ¬В) U 0 = (¬А & В &¬ В) = А & 0 = 0. Логическая формула называется тождественно истин-ной, если она принимает значение «истина» на всех наборах входящих в нее простых высказываний (тождественно ис-тинные высказывания часто называют тавтологиями). На-пример: ¬ (А&¬А) U (В U¬ В) = ¬0 U 1 = 1. Алгоритм построения таблицы истинности сложного высказывания 1. Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности. Пусть сложное высказывание состоит из n простых. Количество строк: 2n +2 (2-строки заголовка). Количество столбцов: сумма количества переменных (n) + количества логических операций, входящих в сложное высказывание. 2. Начертить таблицу и заполнить заголовок. Первая строка – номера столбцов. Вторая строка - промежуточные формулы и соответствующие им условные записи операций над значениями пар столбцов, содержащие номера этих столбцов. 3. Заполнить первые n столбцов. Для n=3 количество строк со значениями переменных равно 8. 8:2=4: в 1-м столбце чередуем 4 нуля и 4 единицы. 4:2=2: во 2-м столбце чередуем 2 нуля и 2 единицы. 2:2=1: в 3-м столбце чередуем 1 ноль и 1 единицу. Таким образом, все возможные комбинации значений переменных учтены и никакие две не совпадают. 4. Заполнить остальные столбцы. Остальные столбцы заполняем в соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого. Пример Е = (КUС) & С?К. 1. Определим количество строк и столбцов в таблице истинности. Количество строк: 22 +2=6; Количество столбцов: 2+4=6. 2. Начертим таблицу и заполним ее в соответствии с определениями логических операций последовательно по столбцам. Вывод: мы получили в последнем столбце все единицы. Это означает, что значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С.
Ответов - 5
Ирина: Задача «Кто виноват?» По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров Сидоров. Следствием установлено следующее: 1) если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен. 2) Если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен. Виновен ли Иванов? Решение: 1. Рассмотрим простые высказывания: И = Иванов виновен; П = Петров виновен; С = Сидоров виновен; 2. Запишем на языке алгебры логики факты, установленные следствием: F1 = (И v П) → С и F2 =И → С. 3. Пусть F = ((И v П) → С) & (И → С). 4. Составим для данного высказывания таблицу истинности. 1. ►Сколько переменных в формуле? © Три И, П, С 2. ►Следовательно, сколько строк будет содержать таблица? © Восемь. 3. ►Сколько логических операций нужно выполнить? © Шесть: не И, не С, не И или П, (не И или П) → С), (не И → не С), ((не И v П) → С) & (не И → не С). 4. ►Заполним таблицу - т.е. рассмотрим всевозможные значения, которые могут принимать простые высказывания. 5. ►Заполним остальные столбцы в соответствии с приоритетом выполнения логических операции. ! Седьмой, восьмой и девятый столбцы обозначим соответственно F1, F2, F. Т.к. в ЭТ нет логической функции - импликации, и вы не знакомы с формулами упрощения логических операций, то эти операции я выполнила сама. ►Откройте файл C:\SCHOOL\UROKI\LOGIKA\urok.xls (в этом файле содержится решение задачи, где (не И или П) → С), (не И → не С), ((не И v П) → С) & (не И → не С) упрощены по формулам алгебры логики). 6. ►Решить данную задачу – значит указать, при каких значениях простого высказывания. И полученное сложное высказывание истинно. Необходимо проанализировать все строки таблицы истинности, где F = 1. И если хотя бы в одном случае F = 1 при И = 0 (Иванов не виновен) то у следствия недостаточно фактов для того, чтобы обвинить Иванова в преступлении. Анализ таблицы показывает, что сложное высказывание истинно во всех случаях, когда И – истинно, т.е. Иванов виновен в ограблении.
ИвановнА: спасибо за таблицу истинности,очень помогла
Coca-Cola: Алгебра логики вообще полнейшая муть, скорей бы программирование и работа в паскале и фотошопе, ненавижу теорию)
Ananaska: Coca-Cola, чего?
Серега: Пончик помоги составить таблиц истиности (Если эта фигура квадрат, то диагонали в ней равны, взаимно перпендикулярны и в точки пересечения делят пополам.)
полная версия страницы